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\def \div {\mbox{div }}
\def \u {{\bf{ u }}}
\def \f {{\bf{ f }}}
\newcommand{\R}{\mbox{ I$\!$R}}
\)
TP sur KdV
On considère l'équation 1D de KDV suivante:
$$
\partial_t u(t,x) +\partial_x^3 u (t,x) +6 u(t,x) \partial_x u(t,x)=0,\quad (t,x)\in \R\times ]0,L[
$$
associée aux conditions limites périodiques:
$$
u(t,0)=u(t,L)
$$
et à la donnée initiale "soliton":
$$
u(0,x)=\frac {c}{2\cosh^2(\frac {\sqrt c} 2 (x-\frac L 2))}
$$
où $c$ est la vitesse du soliton. On choisira une longueur de domaine
$L$ adapté à la largeur du soliton qui dépend de
sa vitesse.
-
Vérifier par un calcul la conservation des quantités:
-
masse : $\int_{-L}^L u(t,x)dx$
- norme $L^2$: $\int_{-L}^L u^2(t,x)dx$
- energie $\int_{-L}^L (\partial_x u)^2(t,x)dx-\frac 1 6
\int_{-L}^{L} u^6(t,x)dx$ .
(Indication: on remarquera que $2u\partial_x u=\partial_x(u^2)$ et que si un nombre est égal à son opposé, alors il est nul).
-
Vérifier que la solution du problème vérifie
$$
u(t,x)=u(0,x-ct).
$$
-
On propose le schéma en temps de Sanz-Serna:
$$
\frac {u^{n+1}-u^n}{\delta t}+\partial_x^3\frac {u^{n+1}+u^n}{2}+6 \frac {u^{n+1}+u^n} 2 \partial_x\frac {u^{n+1}+u^n}{2}=0
$$
Vérifier que ce schéma vérifie la propriété de conservation de la norme $L^2$ introduite à la question précédente et ce, inconditionnellement sur le pas de temps.
\item Proposer une discrétisation différence finie centrée de l'opérateur $\partial_x$ avec des conditions limites périodiques. Proposer une discrétisation antisymétrique de l'opérateur $\partial^3_x$. Pourquoi la conservation discrète de la norme $L^2$ est toujours valable?
\item Ecrire sous forme matricielle l'équation vérifiée par un vecteur de discrétisation de $u^{n+1}(x)$, noté $U^{n+1}$. Résoudre en matlab, par une méthode de point fixe, le calcul de $U^{n+1}$ en fonction de $U^{n}$.
- Simuler l'évolution du solution et tracer au cours des itérations en temps les quantités censées se conserver.
- Simuler la propagation de deux solitons se propageant à des vitesses différentes. Que constatez vous après la rencontre des deux solutions?
- Reproduire la résolution numérique avec une discrétisation par transformée de fourier discrète (en $x$) à la place de la discrétisation spatiale différence finie.
- On propose le schéma en temps de Crank-Nicolson:
$$
\frac {u^{n+1}-u^n}{\delta t}+\partial_x^3\frac {u^{n+1}+u^n}{2}+\frac 3 2 \partial_x({(u^{n+1})^2+(u^n)^2})=0.
$$
A-t-on la conservation des invariants?
Vérifier numériquement que ce schéma est $L^2$-stable.