Equation de la chaleur¶
On va étudier la manière d'approcher l'équation de la chaleur. Celle-ci décrit les phénomènes transitoires (instationnaires) en temps d'un phénomène de diffusion.
On introduit d'abord un problème elliptique qui décrit le phénomène de diffusion stationnaire. On reprend le problème de Dirichlet étudié précédemment:
$$
\begin{align}
&-u_l''(x)=f(x),\quad \forall x\in ]0,L[,\\
&u_l(0)=u_l(L)=0.
\end {align}
$$
Le modèle parabolique décrit par l'équation de la chaleur s'écrit,
$$
\begin{align}
&\partial_t u(t,x)-\partial_{xx}u(t,x)=f(t,x),\quad \forall x\in ]0,L[,\\
&u(0,x)=u_0(x),~\forall x\in ]0,L[,\\
&u(t,0)=u(t,L)=0,~\forall t>0.
\end {align}
$$
Rappel de propriétés¶
On rappelle (cours) que, sous réserve de régularité de $f$, la solution satisfait l'estimation suivante, il existe $a>0$ tel que
$$
\|u(t,.)\|^2_{L^2((0,L))}\le \|u_0\|^2_{L^2((0,L))}e^{-a t}
+\int_0^t e^{-a (t-s)}\|f(s,x)\|^2_{L^2((0,L))}.
$$
On observe le caractère amorti de l'équation grâce à l'ellipticité de l'opérateur de Dirichlet. Si de plus $f$ ne dépend pas de $t$, on note $v(t,x)=u(t,x)-u_l(x)$ et $v$ satisfait,
$$
\begin{align}
&\partial_t v(t,x)-\partial_{xx}v(t,x)=0,\quad \forall x\in ]0,L[,\\
&v(t,0)=v(t,L)=0,~\forall t>0.
\end {align}
$$
On en déduit alors que
$$
\|v(t,.)\|^2_{L^2((0,L))}\le \|v(0,.)\|^2_{L^2((0,L))}e^{-a t}.
$$
On observe l'amortissement de $v$ vers $0$ soit l'amortissement de $u$ vers $u_l$. La solution du problème stationnaire est l'asymptotique du problème instationnaire, quelle que soit la donnée initiale.
Schémas en temps Euler implicite¶
On propose le schéma d'Euler implicite, de pas $\delta t$, pour l'équation en $v$:
$$
\begin{align}
&\frac {v^{n+1}(x)-v^{n}(x)}{\delta t}-\partial_{xx}v^{n+1}(x)=0,\quad \forall x\in ]0,L[,\\
&v^{n+1}(0)=v^{n+1}(L)=0,\\
&v^0=v_0.
\end {align}
$$
On remarque qu'il s'agit d'une suite de problèmes elliptiques, ainsi la suite est bien définie dans $H^1_0((0,L))$ à partir du rang $1$ dès lors que $v_0\in H^{-1}((0,L))$.
En prenant le produit scalaire $L^2((0,L))$ de cette équation avec $v^{n+1}$ et en utilisant l'inégalité de Poincaré, on a,
$$
(1+a\delta t)\|v^{n+1}\|_{L^2((0,L))}^2\le \|v^{n+1}\|_{L^2((0,L))}^2+2\delta t\|\partial_x v^{n+1}\|_{L^2((0,L))}^2\le \|v^{n}\|_{L^2((0,L))}^2.
$$
On en déduit la convergence vers $0$, sous-géométrique, de $(v^n)_n$ dans $L^2((0,L))$.
Ceci établit la stabilité asymptotique $L^2((0,L))$ du schéma, inconditonnellement sur le pas de temps.
Schémas en temps Euler explicite¶
On propose le schéma d'Euler explicite, de pas $\delta t$, pour l'équation en $v$:
$$
\begin{align}
&\frac {v^{n+1}(x)-v^{n}(x)}{\delta t}-\partial_{xx}v^{n}(x)=0,\quad \forall x\in ]0,L[,\\
&v^{n+1}(0)=v^{n+1}(L)=0,\\
&v^0=v_0.
\end {align}
$$
La suite perd $2$ crans de régularité Sobolev à chaque itération. Pour donner de bonnes propriétés à ce schéma, il sera nécessaire de le définir pour une discrétisation spatiale et de respecter une condition CFL qui limite le pas de temps en fonction du pas d'espace.
On introduit la discrétisation uniforme du segment $]0,L[$ par
$$
x_i=i h, \quad i=0\cdots N+1,
$$
avec $h=\frac L {N+1}$.
On rappelle l'expression de la matrice de discrétisation par différence finie centrée,
$$
A=\frac 1 {h^2}\left (
\begin{array}{ccccc}2&-1&0&\cdots&0\\
-1&2&-1&0&\cdots\\
0&-1&2&-1&0 \\
-&-&-&-&-\\
0&\cdots&0&-1&2
\end{array}
\right ).
$$
Le schéma discrétisé en temps et en espace s'écrit, avec $V^n\in \mathbb R^N$,
$$
\begin{align}
&\frac {V^{n+1}-V^{n}}{\delta t}+A V^{n}=0,\\
&V^0=(v_0(x_1),\cdots,v_0(x_N))^t.
\end {align}
$$
On sait, cf cours, que ce schéma est asymptotiquement stable pour la norme $L^2$ et la norme $L^\infty$ sous la CFL $\delta t\le \frac {h^2}2$. Sous cette CFL, le schéma est mieux que $L^\infty$-stable, il respecte même le principe du maximum, en effet, en chaque noeud de discrétisation, la solution à l'itéré $n+1$ est combinaison convexe de la solution à l'itéré $n$:
$$
V_i^{n+1}=(1-2\frac {\delta t}{h^2})V_i^{n}+\frac {\delta t}{h^2}V_{i-1}^{n}+\frac {\delta t}{h^2}V_{i+1}^{n}.
$$
Mise en oeuvre du schéma d'Euler implicite¶
Quel que soit le choix de l'approximation spatiale, du moment que les matrices qui approchent l'opérateur de Dirichlet et l'opérateur Identité sont définies positives, les schéma obtenu sera inconditionnellement stable pour la norme $L^2$.
On choisit de reprendre les différences finies centrées comme discrétisation spatiale.
